球谐函数的渐进形式

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Published: March 05, 2020

最近在研究量子散射在高能下的半经典形式。因为入射能较高的关系，在做分波展开的时候，通常情况下lmax的取值会很大，那么对于这种情况，相对于完全求解该分波下的球谐函数，在一些文献中（大多数半经典文献中），比如J. Phys. G : Nucl. Phys. 4 1573（1978），采用了球谐函数的渐进形式。

球谐函数被定义为

$Y_{l m}(\theta, \phi)=(-1)^{m}\left[\frac{(2 l+1)}{4 \pi} \frac{(l-m) !}{(l+m) !}\right]^{1 / 2} P_{l}^{m}(\cos \theta) \mathrm{e}^{\mathrm{i} m \phi}$

其中伴随勒让德多项式有以下渐进形式

$P_{l}^{m}(\cos \theta)=\frac{\Gamma(l+m+1)}{\Gamma\left(l+\frac{3}{2}\right)}\left(\frac{1}{2} \pi \sin \theta\right)^{-1} \cos \left[\left(l+\frac{1}{2}\right) \theta-\frac{\pi}{4}+\frac{m \pi}{2}\right]$

同时使用Gamma函数的关系式

$\Gamma(n+1)=1 \cdot 2 \cdot 3 \dots(n-1) n=n !$

我们得到球谐函数的渐进形式

$Y_{lm}(\theta, \phi)=B_{l m} \frac{ \cos \left[\left(l+\frac{1}{2}\right) \theta-\frac{\pi}{4}+\frac{m \pi}{2}\right]}{\sqrt{\sin \theta}}e^{im\phi}$

其中，

$B_{l m}=\frac{1}{\pi}(-1)^{m}\left[\frac{2 l+1}{2} \frac{\Gamma(l-m+1) \Gamma(l+m+1)}{(\Gamma(l+3 / 2))^{2}}\right]^{1 / 2}$

现在我们使用Gamma函数的渐进形式，

$\begin{aligned} &\ln \Gamma(z) \sim\left(z-\frac{1}{2}\right) \ln z-z+\frac{1}{2} \ln (2 \pi)+\frac{1}{12 z}-\frac{1}{360 z^{3}}\\ &+\frac{1}{1260 z^{5}}-\frac{1}{1680 z^{7}}+\dots \quad(z \rightarrow \infty \text { in } | \text { arg } z |<\pi) \end{aligned}$

对上式进行展开，当我们假设l»m,并且忽略较小项时，我们得到

$\begin{aligned} & \ln \left[\frac{\pi}{\left(-)^{m}\right.} \times B_{l m}\right]=\ln \left(\frac{\left(l+\frac{1}{2}\right) \Gamma(l-m+1) \Gamma(l+m+1)}{\Gamma\left(l+\frac{3}{2}\right)^{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \\ =& \frac{1}{2}\left[\ln \left(l+\frac{1}{2}\right)+\ln (\Gamma(l-m+1))+\ln (\Gamma(l+m+1))-2 \ln \left(\Gamma\left(l+\frac{3}{2}\right)\right)\right] \\ =&\frac{1}{2}\left[\ln \left(l+\frac{1}{2}\right)\right.+\left(l-m+\frac{1}{2}\right) \ln (l-m+1)+\left(l+m+\frac{1}{2}\right) \ln (l+m+1) \\ &\left.-2(l+1) \ln \left(l+\frac{3}{2}\right)+1\right]\\ =&\frac{1}{2}\left[\ln \left(1-\frac{1}{l+\frac{3}{2}}\right)+\left(l+\frac{1}{2}\right) \ln \left(1-\frac{m+\frac{1}{2}}{l+\frac{3}{2}}\right)+m \ln \left(1+\frac{2 m}{l-m+1}\right)\right.\\ &\left.+\left(l+\frac{1}{2}\right) \ln \left(1+\frac{m-\frac{1}{2}}{l+\frac{3}{2}}\right)+1\right] \end{aligned}$

当我们假设l很大并且l»m时，我们对对数进行多项式展开，并保留1/l 项，我们得到

$\begin{aligned} \ln \left(\frac{\pi}{(-)^{m}} B_{l m}\right)=& \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{l+\frac{3}{2}}-\left(l+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{m+\frac{1}{2}}{l+\frac{3}{2}}\right)+m \cdot \frac{2 m}{l-m+1}\right.\\ &\left.+\left(l+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{m-\frac{1}{2}}{l+\frac{3}{2}}\right)+1\right) \\ =& \frac{m^{2}}{l-m+1} \end{aligned}$

因此我们得到

$B_{l m}=\exp \left(\frac{m^{2}}{l-m+1}\right) \cdot \frac{(-)^{m}}{\pi}$

对于高能散射来说，我们假设有效的部分原来于m值比较小的项并且忽略m值比较大的，因此我们忽略掉上式的指数项。最终我们得到球谐函数的渐进表达式为

$Y_{l m}(\theta, \phi)=\frac{(-)^m}{\pi}\frac{\cos \left[\left(l+\frac{1}{2}\right) \theta-\frac{\pi}{4}+\frac{m \pi}{2}\right]}{\sqrt{\sin \theta}} e^{i m \phi}$

然而，在进行数值计算对比球谐函数的精确解和渐进形式时，我们发现球谐函数的渐进根本不等于其精确解，比如我们选取l=100, m=1, theta=30, phi=0时，进行求解

精确解为：-0.45018217559285850
渐进形式为：0.45015815807855308

可以发现其中4位有效数字相同，但是结算结果的正负正好相反，而且在进一步的计算中我们发现m>1的情况下，即使l>1000,渐进形式也只能保证1位有效数字相同，比如l=1000, m=2, theta=10, phi=0时

精确解为：0.37489043596257088
渐进形式为：0.38193109381036577

奇怪的是，这个渐进形式被广泛的应用到半经典散射理论中，那么半经典散射理论的可靠性到底有多少呢？？？？Any hints？？？？

在对比Mathematica和Joachain书上关于球谐函数的定义时，我发现Joachinian书上包含了一个(-)^m的参数，然后Mathematica上面并没有包含这个参数。再进一步对比伴随勒让德多项式的定义时发现，Mathematica的定义上面包含了(-)^m参数，然后Joachain书没有这个参数。综合起来看，Mathematica和Joachain书对于球谐函数的定义是一致的。

那么接来下要做的就是查看伴随勒让德多项式的渐进形式本身是否已经包含了这个参数，通过查找Handbook of Mathematical Functions with Formulas书上的定义，公式(8.6.6)给出的定义包含(-)^m，因此其渐进形式本身(8.10.7)已经把这个参数包含在内。因此最终的球谐函数渐进形式，如果想和Mathematica和Joachain书对比的话，需要去掉(-)^m这个参数。

然而半经典理论家们，带着这个参数进行了大量计算了，并试图和不包含这个参数计算结果的量子理论继续对比？？？？意义何在？？

下面检验一下，这个参数的数值精度，对于\theta=10,\phi=0来说

m= 0
l Ylm_exact Ylm_asy
10 0.3819 0.4155
15 -0.2613 -0.2283
20 -0.7178 -0.7055
25 -0.6615 -0.6697
30 -0.1326 -0.1495
35 0.4910 0.4786
40 0.7639 0.7628
45 0.4910 0.4995
50 -0.1326 -0.1220
55 -0.6615 -0.6562
60 -0.7178 -0.7204
65 -0.2613 -0.2689
70 0.3819 0.3751
75 0.7523 0.7507
80 0.5852 0.5893
85 0.0000 0.0063
90 -0.5852 -0.5812
95 -0.7523 -0.7530
100 -0.3819 -0.3865
m= 1
l Ylm_exact Ylm_asy
10 -0.6615 -0.7541
15 -0.7178 -0.6935
20 -0.2613 -0.1904
25 0.3819 0.4386
30 0.7523 0.7645
35 0.5852 0.5577
40 0.0000 -0.0399
45 -0.5852 -0.6091
50 -0.7523 -0.7478
55 -0.3819 -0.3571
60 0.2613 0.2867
65 0.7178 0.7269
70 0.6615 0.6505
75 0.1326 0.1116
80 -0.4910 -0.5067
85 -0.7639 -0.7643
90 -0.4910 -0.4775
95 0.1326 0.1494
100 0.6615 0.6699
m= 2
l Ylm_exact Ylm_asy
10 -0.3819 0.4037
15 0.2613 0.7391
20 0.7178 0.8128
25 0.6615 0.4752
30 0.1326 -0.1350
35 -0.4910 -0.6573
40 -0.7639 -0.7521
45 -0.4910 -0.3478
50 0.1326 0.2901
55 0.6615 0.7294
60 0.7178 0.6668
65 0.2613 0.1430
70 -0.3819 -0.4799
75 -0.7523 -0.7676
80 -0.5852 -0.5179
85 -0.0000 0.0951
90 0.5852 0.6411
95 0.7523 0.7354
100 0.3819 0.3109

可以看到在m=0或者m=1的时候，数值计算结果还能勉强接受。

原来朗道的量子力学书上已经提到过这个公式，见Eq.(49.8)。不过朗道书上讨论的是m=0的情况，这种情况下，基本属实。原来真的是不同人写的量子力学，有不同的侧重点。

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Jin Lei

球谐函数的渐进形式

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