nonlocal potential的解法

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Published: June 13, 2020

最近做的项目中需要解一个包含nonlocal potential的薛定谔方程。但是在通过使用R-matrix方法求解方程的时候发现得到的结果与把该nonlocal potential傅里叶变换到动量空间下求解的结果不一致。这个问题困扰了长达一个月的时间，通过查找文献我发现了一个比较有趣的现象，不同的文章对包含nonlocal potential的薛定谔方程定义都不一样。比如，在文章ANNALS OF PHYSICS 59, 219-247 (1970)中，方程被定义为

$\left[\frac{d^{2}}{d r^{2}}+k^{2}-\frac{l(l+1)}{r^{2}}\right] \psi_{l}(k, r)=\int_{0}^{\infty} V\left(r, r^{\prime}\right) \psi_{2}\left(k, r^{\prime}\right) d r^{\prime}$

在文章 PHYSICAL REVIEW C 98, 044621 (2018)中，方程被定义为

$\left(T_{l_{p}}-E\right) \chi_{p}^{l_{p}}(r)=\int_{0}^{\infty} \chi_{p}^{l_{p}}\left(r^{\prime}\right) U_{\mathrm{Ap}}\left(r, r^{\prime}\right) r^{\prime 2} d r^{\prime}$

然而在文章Computer Physics Communications 254, 107340(2020)中，方程被定义为

$-\frac{\hbar^{2}}{2 \mu}\left[\frac{d^{2}}{d r^{2}}-\frac{l(l+1)}{r^{2}}\right] f_{l j}(k, r)+V_{C}(r) f_{l j}(k, r)+r \int_{0}^{\infty} \nu_{l j}\left(r, r^{\prime} ; E\right) f_{l j}\left(k, r^{\prime}\right) r^{\prime} \mathrm{d} r^{\prime}=E f_{l j}(k, r)$

可以看到上述几个文献中，给出的nonlocal方程在积分项上有分歧。

为了检验上述的几个方程，我们首先来看一下nonlocal potential的单位为何。原则上nonlocal potential应该与local potential的单位一致，对于local potential

$V(r,r')=V(r) \frac{\delta(r-r'))}{rr'}$

它的单位为 MeV fm^{-3}，也就是说通过积分运算之后nonlocal potential的单位应该与动能的单位一致，即MeV，也就是说积分项本身要因为的单位为fm^3。按照这个定义，我们可以排除第一个方程。对于第二个和第三个方程哪个是正确的，我们先不讨论。我们先回到R-matrix方法中。对于Lagrange函数的定义

$\varphi_{i}(r)=(-1)^{N+i} \frac{r}{a x_{i}} \sqrt{a x_{i}\left(1-x_{i}\right) \frac{P_{N}(2 r / a-1)}{r-a x_{i}}}$